数学建模概念在新课标高中数学函数中运用的内容

时间：2021-12-24 10:14:38 数学我要投稿

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　　1数学模型的定义

数学建模概念在新课标高中数学函数中运用的内容

　　从广义上说，数学模型是从现实世界抽象出来的，是对客观事物的某些属性的一个近似反映，从狭义上说，只有反映特定问题或特定的具体事物系统的数学结构才叫数学模型。在应用数学中，数学模型一般指狭义的理解，目的在于解决具体的实际问题。

　　数学建模（MathematicalModeling）是建立数学模型的过程的简称。《简明不列颠百科全书》中对数学模型解释道：“这个术语的第二种用法是理论和分析意义下的模型，也许是更为重要的一类模型。本质上说，在物理和生物世界中的任何现实情形，无论它是天然的或是与技术和人的干预有关的，只要它可以用定量的属于来描述，就能够通过建立模型使它服从解析的规律。例如最优化和控制可用来对工业问题、交通模式、河流中的沉积物的输送和其它情形建立模型；信息和通讯理论可以用来对信息传播、语言特征和其他类似的问题建立模型；而维数分析和计算机模拟可以用来对大气环流模式、工程结构中的压力分布、地形的形成和发展以及在科学和工程中许多其它过程来建立模型。更深层次地可以认为数学建模是一种数学的思考方法，是对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示”。

　　通俗地讲，数学建模就是把一个生活、生产中的实际问题，经过恰当的刻画、加工，抽象表达成一个数学问题，进而选择合适的、有效的、正确的数学方法来求解。

　　2新课标对数学建模的要求

　　数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题。

　　2.1阅读理解：认真审题，弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系。

　　2.2引进数学符号：建立数学模型，将文字语言转化为数字语言，利用相关知识，实现问题数学化，建立数学模型。

　　2.3解答数学问题：利用数学方法，将得到的数学模型予以解答，求得结果。

　　2.4作答：将所得结果转译成具体问题结论，作出解答。

　　2.5数学模型。①一次函数模型：f(ｘ)=kx+b(k，b为常数，k≠0)；②反比例函数模型:f(ｘ)=kｘ+b（k，b为常数，k≠0）；③二次函数模型：f(x)=ax2+bｘ+c（a，b，c为常数，a≠0）；④指数函数模型:f(x)=abｘ+c（a，b，c为常数，a≠0）；⑤对数函数模型：f(x)=mlogaｘ+n（m，n，a为常数，a>0，a≠l）；⑥幂函数模型：f(x)=aｘn+b(a，b，n为常数，a≠0，n≠l)；⑦分段函数模型：这个函数模型实际是以上两种或多种函数模型的综合，因此应用也十分广泛。

　　2.6典型例题。

　　例1（一次函数模型）：某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社。在每一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则应该每天从报社买进多少份？才能使每月所获得利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚得多少元？

　　解：设每天应从报社买进x份报纸，250≤x≤400。

　　设每月赚y元，

　　得y=0.5·x·20+0.5×250×l0+(x-250)×0.08×l0-0.35·x·30

　　=0.3x+l050，x∈[250,400]

　　因为y=0.3x+l050是定义域上的增函数，

　　所以当x=400时，ymax=120+1050=1170（元）

　　可知每天应从报社买进400份报纸，获得利润最大，每月可赚1170元。

　　例2（二次函数模型）：某商店购进一批单价为20元的日用品，若按每件30元的价格销售，每月能卖400件。为获得更大的利润，商店准备提高销售价格。经实验发现，在每件销售价格的基础上，售价每提高1元，销售量减少20件。问价格提高多少时，才能获得最大利润？每月最大利润是多少？

　　解：设每件商品提价x元（0≤x≤20），则每件商品的价格为（30+x）元，每件商品的利润为（30+x-20）元，此时每月少售出商品20x件，故每月可售出商品（400-2x）件，设每月的利润为y元，则y=（400-2x）（30+x-20）

　　=-20x2+200x+4000

　　=-20(x-5)2+4500

　　∴当x=5时，y有最大值为4500。

　　故每件价格提高5元时，才能获得最大利润，最大利润是4500元。

　　例3（指数函数模型）：按复利计算利息的一种储蓄，设本金为a元，每期利率为r，存款为x，写出本金和利息总和y（元）与x的函数表达式，如果存入本金10000元，每期利率为1.98%,试计算5期后，本息总和是多少？

　　解：∵本金为a元，

　　∴1期后本息和为a+ar=a(1+r)

　　2期后本息和为a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2

　　3期后本息和为a(1+r)2+a(1+r)2r=a(1+r)3；…………

　　X期后本息和为y=a(1+r)x。

　　将a=10000,x=5,r=1.98%代入上式，得y=10000(1+1.98%)5=11029.99(元)

　　学校和学生可根据各自的实际情况，确定数学建模活动的次数和时间安排。数学建模可以由教师根据教学内容以及学生的实际情况提出一些问题供学生选择；或者提供一些实际情景，引导学生提出问题；特别要鼓励学生从自己生活的世界中发现问题、提出问题。数学建模可以采取课题组的学习模式，教师应引导和组织学生学会独立思考、分工合作、交流讨论、寻求帮助。教师应成为学生的合作伙伴和参谋。教师在必要时应给予适当的指导。教师应指导学生完成数学建模报告，报告中应包括问题提出的背景、问题解决方案的设计、问题解决的过程、合作过程、结果的评价以及参考文献等。评价学生在数学建模中的表现时，要重过程、重参与。不要苛求数学建模过程的严密、结果的准确。

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