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4种数学思想方法
数学学习,实际上就是对数学知识的理解和对数学思想方法的掌握与运用,数学思想方法是对数学知识的概括,也是数学知识的本质所在.本章小编给大家介绍4种数学思想方法，希望为大家提供参考阅读。
4种数学思想方法
一、常用的数学思想（数学中的四大思想）
1.函数与方程的思想
用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
2．数形结合思想
在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形 ”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
3．分类讨论思想
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：
（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；
（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；
（3）由于图形的不确定性引起的讨论；
4）由于题目含有字母而引起的讨论。
分类讨论的解题步骤一般是：
（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；
（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；
（3）逐步讨论，分级进行；
（4）归纳总结作出整个题目的结论。
4.等价转化思想
等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。
二、常用的数学方法
主要有换元法、配方法和待定系数法三种。
三、例题解析
【例1】（2004年北京市东城区）解方程：x+1-3x+1=2．
解：设x＋1＝y，则原方程化为y-3y=2
去分母，得y2-2y-3=0．
解这个方程，得y1=-1,y2=3．
当y＝－1时，x＋1＝－1，所以x＝－2；
当y＝3时，x＋1＝3，所以x＝2．
经检验，x＝2和x＝－2均为原方程的解．
〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。
【例2】已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为 。
〖解析〗∵函数y=ax2+bx+c的'对称轴为x=2,∴b=-4a …①将点（1，4）、（5，0）的坐标分别代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=4…② 25a+5b+c=0③.解①②③得a=-12,b=2,c=52.故抛物线的解析式为y=-12x2+2x+52.
〖点拨〗利用待定系数法可求函数的解析式、代数式及多项式的因式分解等符合题设条件的数学式。
【例3】（05年长沙市）某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120 万元．在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之问存在着如图所示的一次函数关系．
⑴求y关于x的函数关系式；
⑵试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）．当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
⑶若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
〖解〗：⑴设y=kx+b ，它过点(60，5)，(80，4)
∴5=60k+b4=80k+b 解得k=-120b=8
∴y=-120x+8,
⑵z=yx-40y-120=（-120x+8）（x-40）-120=-120x2＋10x-440;
∴当x=100元时，最大年获得为60万元．
⑶令z=40，得40=-120x2＋10x-440，整理得：
x2-200x＋9600=0
解得：x1=80,x2=120，
由图象可知，要使年获利不低于40万元，销售单价应在80元到120元之间．…(8分)又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元．
〖点拨〗解此类问题，要仔细阅读题目，理清思路，从而建立数学模型（函数模型）
【例4】（2007年福建漳州）如图，已知矩形ABCD，AB=3，BC=3，在BC上取两点E、F（E在F左边），以EF为边作等边三角形PEF，使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H．
（1）求△PEF的边长；
（2）在不添加辅助线的情况下，当F与C不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；
（3）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．
[解] （1）过P作PQ⊥BC于Q
矩形ABCD
∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC
∴PQ=AB=3
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