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数学必修4的课程内容

2020-02-08

 《普通高中课程标准实验教科书·数学4》简介

  数学4(必修)的内容包括三角函数、平面向量、三角恒等变换。

  三角函数是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理中都有广泛的应用。三角恒等变换在数学中有一定的应用。

  全书共需36课时,具体分配如下:

  第一章 三角函数 16课时

  第二章 平面向量 12课时

  第三章 三角恒等变换 8课时

  一、本模块的地位作用

  通过本模块的学习,学生将在如下一些方面得到提高。

  1.加深对数学与实践关系的认识。

  三角函数、向量都是刻画现实世界某些现象的重要数学模型。周期变化现象在现实中大量存在,如音乐的旋律、波浪、昼夜的交替、潮汐、钟摆的运动、交流电等,这些现象都可以用三角函数来描述。实际上,三角函数的产生、发展与解决具有周期性变化规律的问题的需要密切相关。力、速度、位移等也是实际生活中所常见的,它们是向量的实际背景,也是向量描述的对象。因此,三角函数、向量的学习能使学生加深认识数学与实践的紧密联系,通过用三角函数、向量解决实际问题的实践体会数学的作用和价值,学习用数学的观点看待和处理日常生活以及其他学科的问题的方法。

  2.认识数学内容的联系性,学习数学研究的方法。

  三角函数与数学1中的函数概念有着特殊与一般的关系,三角函数的研究以一般函数概念及其研究方法为指导,同时三角函数的学习可以加深对函数概念的理解。三角函数及其性质与圆及其性质有着直接的联系,三角函数的研究很好地体现了数形结合思想。在三角函数的研究中,借助单位圆进行几何直观是非常重要的手段,而且这也是使学生学会数形结合地思考和解决问题的好机会。

  向量既是代数的对象,又是几何的对象,它是沟通代数、几何及三角函数的桥梁。向量是处理数学及现实问题的有效工具。在本模块中,在向量之后安排三角恒等变换,让学生经历用向量工具推导两角差的余弦公式的过程,其目的就是为了让学生体会向量的这种作用,并进而使学生体会向量与三角函数的联系、数与形的联系等。

  总之,通过本模块的学习,学生可以从三角函数及其性质与圆及其性质的联系、向量与代数、几何以及三角函数的联系、和(差)公式及倍角公式之间的联系等,体会不同数学知识在内容与方法上的联系性,学习数学中发现问题、提出问题和解决问题的基本方法。

  3.发展运算能力和推理能力。

  作为代数对象,向量可以进行运算。学生已经熟悉数与式的运算,这里又将运算发展到向量运算,这是运算的一次飞跃。事实上,向量运算的思想和方法具有很强的迁移能力,例如矩阵运算就是向量运算的推广。

  与代数恒等变换一样,三角恒等变换也是“只变其形不变其质”的,变换的目的在于揭示那些形式不同但实质相同的三角函数式的内在联系,通过简化三角函数式的表现形式而认识其本质。在三角恒等变换中,学生可以通过探求和(差)角公式、倍角公式,以及运用这些公式推导和差化积、积化和差、半角公式等的实践,学习怎样预测变换目标,选择变换,设计变换途径等。

  由上所述可知,通过本模块的学习,学生可以体会数学运算的意义,学习运算、推理的基本思想,他们的运算能力和推理能力将得到提高。

  二、编写中考虑的几个问题

  三角函数与三角恒等变换是高中数学课程的传统内容,平面向量是1996年进入高中数学课程的内容,因此,本模块的内容属于“传统内容”。与以往的教科书相比较,本书在内容、要求以及处理方法上都有新的变化。

  1.以基本概念为主干内容贯穿本书,削枝强干,建立合理的教材体系。

  “标准”设定的本模块课程学习目标是:

  (1)通过实例,学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用;

  (2)了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力;

  (3)运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式,由此出发导出其他的三角恒等变换公式,并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。

  根据上述学习目标,我们在编写教科书过程中,特别注意突出主干内容,强调模型思想、数形结合思想。

  “三角函数”一章,突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。即通过现实世界的周期现象,在学生感受引入三角函数必要性的基础上,引出三角函数概念,研究三角函数的基本性质,并用三角函数的基础知识解决一些实际问题。

  与传统的处理方法不同,这里把三角恒等变换从三角函数中独立出来,其目的也是为了在三角函数一章中突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。

  “平面向量”一章,突出强调了向量的工具特性,充分利用向量的物理背景与几何背景建立向量及其运算的概念,并在这个过程中强调用向量解决实际问题及几何问题。其中,特别强调了用向量解决几何问题的基本思想——“三步曲”,从而比较好地体现了数形结合思想。另外,作为一个应用,用向量方法推导了两角差的余弦公式。

  为了实现削枝强干的目标,教科书除了将三角恒等变换独立成章外,还在具体内容上进行了处理。在三角函数部分删减了任意角的余切、正割、余割,已知三角函数值求角以及符号等内容,任意角、弧度制概念,同角三角函数的基本关系式,周期函数与最小正周期,三角函数的奇偶性等内容都降低了要求。三角恒等变换中,两角和与差的正余弦、正切公式,二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出。积化和差、和差化积、半角公式都作为三角恒等变换基本训练的例题,不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒等变形。平面向量部分将平面两点间的距离公式,线段定比分点及中点坐标公式,平移公式等内容作为平面向量的应用,也降低了要求。

  根据上述考虑,本模块先安排三角函数,再安排平面向量,然后再把三角恒等变换作为平面向量的一个应用,安排在第3章,紧接着再安排解三角形的内容(放在数学5的第1章)。这样的教材体系的合理性在于:

  (1)以已有的集合与函数、指数函数与对数函数的知识为基础,三角函数置于其上位概念(即函数)之下,使三角函数的学习有一个好的“先行组织者”,找到一个有力的“固着点”。三角函数的学习是一种“逐渐分化”式的学习。

  (2)三角函数的学习为平面向量的学习作了必要的准备,因为平面向量的某些内容(向量的数量积)需要用到钝角的三角函数。

  (3)将三角恒等变换安排在平面向量之后,使学生能够切实感受到平面向量的威力(用向量为工具推导三角变换公式非常简捷,而用其他方法都比较繁琐)。另外,由于三角恒等变换与“函数”讨论的主题关系较远,作为平面向量的一个应用而独立成章,对三角函数的系统性没有破坏。

  (4)将解三角形的内容安排在平面向量之后,可以使正弦定理、余弦定理的证明获得更多途径,能更好地体现向量的工具性作用。

  2.强调联系、类比等思想方法的应用,强调教科书的思想性,加强思维能力的培养。

  在讨论三角函数及其性质时,经常提醒学生注意用数学1中获得的一般函数概念及其思想方法作指导。例如,教科书中有这样的话:

  “遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有没有特殊点,并借助图象研究一下它的性质,如:单调性、奇偶性、最大值、最小值等。特别的,三角函数具有‘周而复始’的特性到底应当如何描述?”

  这段话实际上是提示学生,在思考三角函数性质到底研究的是哪些问题以及应当如何研究时,应当与自己在数学1中建立的关于函数性质的已有经验联系起来,显然,这对学生把握三角函数基本性质的讨论方向是非常有用的。

  向量的讨论特别注意了与数的类比,包括向量的线性运算(加、减、数乘)及运算律与数的加减及其运算律的类比,平面向量的坐标表示与数轴上的点表示数的类比,关于向量数量积的运算律与数的乘法运算律的类比,等等。这种类比对于学生学习如何提出问题(应当研究那些问题),怎样寻找解决问题的突破口,研究问题的过程中应当注意哪些问题等等,都是非常有好处的,通过这样的过程,学生的思维能力一定可以得到大的提高。

  下面以用向量表示几何元素(点、直线、平面)为例,对本书体现的“思想性”作一个说明。

  用向量表示几何元素是容易的,并且很直接。选一个定点,那么,任何一个点都可以用一个向量来表示。对于一条直线l,如果我们的兴趣只在于它的方向,那么用一个与l平行的(非0)向量a就行了;如果想确定该直线的位置,则还要在l上任选一点。这样,一个点A,一个向量a就在原则上确定了直线l。这是对直线l的一种定性刻画。如果想具体地表示l上的每一个点,我们需要实数k和向量a的乘法ka。这时,l上的任意一点X都可以通过点A和某个ka来表示(如图1)。希望在“实际”上控制直线l,可以看作是引入ka的一个原因。

  现在来看平面。两条相交直线确定一个平面P,因而一个定点,两个不平行的(非0)向量a,b便在“原则”上确定了平面P。这是对平面的一种定性刻画。但在讨论几何问题时,常常涉及平面P上的某一点X,为了具体地表示它,我们需要引入向量的加法a+b。这时,平面P上的点X就可以表示为k1a+k2b(以及定点A),而成为可操纵的对象了(如图2)。在解决几何问题时,这种表示能发挥很重要的作用。虽然向量的加法、数乘向量有非常坚实的物理背景,但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹数学的角度来看问题的话,上述考虑可使我们看到引进相应的向量运算的理由,这可以使我们更容易接受并喜爱向量运算。

  这样,一个定点,一个向量a以及数乘向量ka便给出直线l的“坐标系”;而一个定点,两个不共线向量a,b,以及数乘向量和向量加法这两个运算,就给出了平面P的一个“坐标系”。类似的,空间的一个“坐标系”可以由一个定点,三个不共面的向量,以及数乘向量和向量加法这两个运算来给出。在这样的“坐标系”中,几何元素及其关系不但可以得到定性刻画,而且还能定量地表示。另外,我们可以根据面临问题的具体条件,根据解决问题的需要(自由地)选择“坐标系”,并且还可以在同一个平面上选择多个“坐标系”。

  3.加强几何直观,强调数形结合思想。

  本书的内容为加强几何直观,引导学生用数学结合的思想方法研究数学问题提供了很好的条件,同时,几何直观对学生理解三角函数、向量等概念也发挥了重要作用。三角函数一章,特别强调了单位圆的直观作用,借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数,理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象,借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与x轴的交点等性质;平面向量一章,强调向量概念的几何背景,强调理解向量运算(加、减、数乘、数量积)及其性质的几何意义。

  这里我们特别说明一下用单位圆上点的坐标定义正弦函数、余弦函数的意义。这样来定义三角函数,除了考虑到使学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性,为后续借助单位圆的直观讨论三角函数的图象与性质奠定坚实的基础外,主要还是为了这样的定义能够更好地反映三角函数的本质。

  事实上,任意角的三角函数可以有不同的定义方法。过去习惯于用角的终边上点的坐标及它到原点的距离的“比值”来定义,这种定义的一个基本理由是可以反映从锐角三角函数到任意角三角函数的推广,有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数。但它对准确把握三角函数的本质也有一定的不利影响,因为锐角三角函数与解三角形是直接相关的,而任意角的三角函数与解三角形却没有任何关系,它是一个最基本的、最有表现力的周期函数,这才是三角函数最本质的地方。

  本章利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。这样定义的好处就是直接用(弧度制下)任意角的集合到区间[-1,1]上的映射来定义,去掉了“求比值”这一中间过程,有利于学生理解任意角的三角函数中自变量与函数值之间的对应关系。

  事实上,在弧度制(用半径来度量角)下,角度和长度的单位是统一的,这样,我们可以用下述方式来描述这两个函数的对应关系:

  把实数轴想象为一条柔软的细线,原点固定在单位点A(1,0),数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上,负半轴顺时针缠绕在单位圆上,那么数轴上的任意一个实数(点)t被缠绕到单位圆上的点P(cost,sint),也即是正弦函数把R中的实数t对应到区间[-1,1]上的实数y,y= sint;余弦函数把R中的实数t对应到区间[-1,1]上的实数x,x= cost。

  上述定义可以很容易地让我们看到三角函数的“周而复始”的变化规律。因此,我们认为这样的定义可以更好地反映三角函数的本质,也正是三角函数的这种形式决定了它们在数学(特别是应用数学)中的重要性。事实上,后续的内容,特别是在微积分中,最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函数。

  4.改进呈现方式,用恰时恰点的问题引导学生学习。

  编写像三角函数、向量这些在以往高中课程中已经出现的内容,我们主要考虑的是通过改进呈现方式,提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维活动的载体,达到体现数学教育新理念,促使学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习,引导教师改进教学方式,提高教学质量,使学生打好数学基础,提高数学思维能力。

  在改进呈现方式这个问题上我们是这样考虑的:在保证内容体系的合理性、科学性的前提下,加强教材的问题性和思想性,在知识的发生发展过程中,利用“观察”“思考”“探究”等栏目,提出恰时恰点的问题,把数学概念的概括过程和数学思想方法的形成过程设计成为一系列的问题,启发学生的积极主动思维。这样,可以使学生感到概念的发展和数学思想方法的形成是自然的,不是强加于人的。

  例如,三角函数的诱导公式是通过这样两个问题情景引出的:

  思考:我们利用单位圆定义了三角函数,而圆具有很好的对称性。能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢?例如,能否从单位圆关于x轴、y轴、直线y=x的轴对称性以及关于原点O的中心对称性等出发,获得一些三角函数的性质呢?

  探究:给定一个角α。

  终边与角α的终边关于原点对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?

  终边与角α的终边关于x轴或y轴对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?

  终边与角α的终边关于直线y=x对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?

  其中,“思考”中的问题是上位的,它对利用单位圆的性质讨论三角函数的性质具有一般思想方法的引导作用;“探究”中的问题比较具体,可以直接引起学生对诱导公式的探究活动。设计这样的问题系列,就是希望学生在问题的引导下,开展积极主动的思维活动,自己独立推导出三角函数的诱导公式,相信有这样的问题引导,是可以做到这一点的。另外,这样的做法对于学生思考“应当从哪些方面来研究三角函数”,即应当如何提出问题,也是有启发的。

  又如,在向量的运算及运算律的内容中,提出了“数能进行运算,因为有了运算而使数的威力无穷。与数的运算类比,向量是否也能进行运算呢?”“数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算。类似的,向量的加法是否也有运算律呢?”“我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反数。向量的减法是否也有类似的法则?”……来引导学生学习。

  5.使用信息技术的考虑。

  本模块中,比较适合用信息技术的内容是三角函数及其性质的研究。“标准”中明确提出了“借助计算器或计算机画出 的图象,观察参数A,对函数图象变化的影响”的要求,在“说明与建议”中提出“应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。例如,求三角函数值,求解测量问题,分析中参数变化对函数的影响等”。根据“标准”的要求和建议,本模块对使用信息技术问题作了如下处理:

  (1)用计算器进行角度制与弧度制的互换;

  (2)用计算器求三角函数的值;

  (3)用计算器的sin-1、cos-1、tan-1键求角;

  (4)讨论的图象时,在边空中提示,“可以用‘五点法’作图,有条件的也可以用计算器或计算机作图。在计算机的帮助下,A,对函数的图象变化的影响能直观地得到反映”;

  (5)在用三角函数模型解决问题的过程中,提倡使用计算机进行函数拟合等。

  相应的,在角的两种度量制的互换、求三角函数值、做函数图象等方面都降低了要求,这样做可以为学生借助信息技术探索数学规律,从事一些富有探索性和创造性的数学活动提供时间和空间。因为有了信息技术,教科书中引进了一些计算量大、需要根据数据选择和修正函数模型才能解决的问题。

  三、使用本书的几个建议

  1.充分利用三角函数、向量与学生已有经验的联系创设问题情景。

  三角函数是描述周期现象的重要数学模型,向量也有丰富的物理与几何背景。

  在学生的已有经验中,像日出日落,月圆月缺,春夏秋冬,24节气,时针旋转……都是日常经验,对于这些周期变化现象及出现的原因,学生在地理课中都接触过、学习过;单摆,圆周运动,弹簧振子……是学生在物理中学习过的,这些都是认识周期现象的变化规律,体会三角函数模型的意义的很好载体,教学中可以充分利用它们来创设三角函数的学习情境。

  在学生的生活经验和已有知识中,力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型,向量的运算的物理背景有力的合成、力的分解、运动做功等。教学中可利用这些背景创设情境,引导学生认识向量是物理、数学中的有力工具。

  2.充分利用相关知识的联系性,引导学生用类比的方法进行学习,加强教学的“思想性”。

  三角函数与《数学1》的函数概念是一般与特殊的关系,教学中应当注意发挥学生头脑中函数概念及在指数函数、对数函数的学习中建立的经验的指导作用。通过联系和类比,使学生明确三角函数与已有函数概念的共通性,同时认识三角函数的特殊性——描述周期现象的最有力的数学模型,从而明确需要研究的问题及其研究方法。

  与学生熟悉的数量一样,向量也是一个量,不过这个量有些特别,它既有大小又有方向。因为有大小,所以向量可以运算;因为有方向,所以向量可以用来刻画点、直线、平面等几何元素,也是研究几何问题的有力工具——几何中的向量法。因此,向量及其方法有非常强有力的类比对象——数量、解析法。教学中应当通过与数及其运算律的类比,让学生明确平面向量中研究的基本问题及其研究方法,为向量的学习提供一个有力的知识、方法的认知固着点。

  3.充分发挥几何直观的作用,注重数形结合思想方法的运用。

  在三角函数的教学中,要充分发挥单位圆的作用,并且要注意逐渐使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯,引导学生自主地用单位圆探索三角函数的有关性质,提高分析和解决问题的能力。向量的教学中,应当充分关注到向量既是代数的对象,又是几何的对象的特点,利用向量的物理背景与几何背景,加强几何直观,引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习向量知识。

  4.把握教学要求,不搞复杂的、技巧性强的三角变换训练。

  弧度是学生比较难接受的概念,教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位(圆周的1/2π所对的圆心角或周角的1/2π),随着后续课程的学习,他们将会逐步理解这一概念,在此不必深究。

  在三角恒等变换的教学中,两角差的余弦公式的推导思路的获得是一个难点。为此,“标准”明确提出利用向量的数量积推导两角差的余弦公式,并由此公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,教学中应当把握这种要求,不要因为用其他方法推导两角差的余弦公式有较好的思维教育价值而作过多扩展(对于学有余力的学生,可以作为课外学习素材)。另外,教学中应鼓励学生通过独立探索和讨论交流,推导积化和差、和差化积、半角公式,以此作为三角恒等变换的基本训练,不要进行复杂的、技巧性强的三角恒等变换训练。

  另外,在三角函数中被删减的内容(如任意角的余切、正割、余割,三角函数的奇偶性,已知三角函数求角,反三角函数符号等)以及降低要求的内容(如任意角概念,弧度制概念,同角三角函数的基本关系式,诱导公式等)都不要随意补充或提高要求。