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七年级下数学经验归纳法竞赛辅导资料

2020-01-20

七年级下数学经验归纳法竞赛辅导资料

  甲内容提要

七年级下数学经验归纳法竞赛辅导资料

  1.通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。

  通过有限的几个特例,观察其一般规律,得出结论,它是一种不完全的归纳法,也叫做经验归纳法。例如

  ①由(-1)2=1,(-1)3=-1,(-1)4=1,……,

  归纳出-1的奇次幂是-1,而-1的偶次幂是1。

  ②由两位数从10到99共90个(9×10),

  三位数从100到999共900个(9×102),

  四位数有9×103=9000个(9×103),

  …………

  归纳出n位数共有9×10n-1 (个)

  ③由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42……

  推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。

  可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。

  2. 经验归纳法是通过少数特例的试验,发现规律,猜想结论,要使规律明朗化,必须进行足夠次数的试验。

  由于观察产生的片面性,所猜想的结论,有可能是错误的,所以肯定或否定猜想的结论,都必须进行严格地证明。(到高中,大都是用数学归纳法证明)

  乙例题

  例1平面内n条直线,每两条直线都相交,问最多有几个交点?

  解:两条直线只有一个交点,12

  第3条直线和前两条直线都相交,增加了2个交点,得1+23

  第4条直线和前3条直线都相交,增加了3个交点,得1+2+3

  第5条直线和前4条直线都相交,增加了4个交点,得1+2+3+4

  ………

  第n条直线和前n-1条直线都相交,增加了n-1个交点

  由此断定n条直线两两相交,最多有交点1+2+3+……n-1(个),

  这里n≥2,其和可表示为[1+(n+1)]×, 即个交点。

  例2.符号n!表示正整数从1到n的連乘积,读作n的阶乘。例如

  5!=1×2×3×4×5。试比较3n与(n+1)!的大小(n是正整数)

  解:当n=1时,3n=3, (n+1)!=1×2=2

  当n=2时,3n=9, (n+1)!=1×2×3=6

  当n=3时,3n=27, (n+1)!=1×2×3×4=24

  当n=4时,3n=81, (n+1)!=1×2×3×4×5=120

  当n=5时,3n=243, (n+1)!=6!=720 ……

  猜想其结论是:当n=1,2,3时,3n>(n+1)!,当n>3时3n<(n+1)!。

  例3 求适合等式x1+x2+x3+…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。

  分析:这2003个正整数的和正好与它们的积相等,要确定每一个正整数的值,我们采用经验归纳法从2个,3个,4个……直到发现规律为止。

  解:x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2

  x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3

  x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4

  x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的.正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5

  x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6

  …………

  由此猜想结论是:适合等式x1+x2+x3+…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解为x1=x2=x3=……=x2001=1, x2002=2, x2003=2003。

  丙练习

  1.除以3余1的正整数中,一位数有__个,二位数有__个,三位数有__个,n位数有____个。

  2.十进制的两位数可记作10a1+a2,三位数记作100a1+10a2+a3,四位数记作____,n位数___记作______

  3.由13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43

  =(___)2,13+______=152,13+23+…+n3=()2。

  4.用经验归纳法猜想下列各数的结论(是什么正整数的平方)

  ①=(___)2;;-=( __)2。

  ②=(____)2;=(___)2

  5.把自然数1到100一个个地排下去:123……91011……99100

  ①这是一个几位数?②这个数的各位上的各个数字和是多少

  6.计算+++…+=

  (提示把每个分数写成两个分数的差)

  7.a是正整数,试比较aa+1和(a+1)a的大小.

  8..如图把长方形的四条边涂上红色,然

  后把宽3等分,把长8等分,分成24个

  小长方形,那么这24个长方形中,

  两边涂色的有__个,一边涂色的有__个,四边都不着色的有__个。

  本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中,两边涂色的有__个,一边涂色的有__个,四边都不着色的有__个

  9.把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分,切成64个小正方体,那么这64个中,三面涂色的有__个,两面涂色的有___个,一面涂色的有___个,四面都不涂色的有____个。

  本题如果改为把长m等分,宽n等分,高p等分,(m,n,p都是大于2的自然数)那么这mnp个正方体中,三面涂色的有___个,两面涂色的有___个,一面涂色的有____个,四面都不涂色的有_____个。

  10.一个西瓜按横,纵,垂直三个方向各切三刀,共分成___块,其中不带皮的有__块。

  11.已知两个正整数的积等于11112222,它们分别是___,___。

  丙答案

  1.3,30,3×102,3×10n-1

  2.10n-1a1+10n-2a2_+……+10an-1+an

  4.①333332, ②,

  5.①192位,②901位(50个18,加上1)

  6. ∵=- ……

  7.a=1,2时,aa+1<(a+1)a……

  8.4,14,6;4,2m+2n-8,(m-2)(n-2)

  9.8,24,24,8;

  8,4×[(m-2)+(n-2)+(p-2)],2[(m-2)(n-2)+(m-2)](p-2)+(n-2)(p-2)],

  (m-2)(n-2)(p-2)

  10.64,8

  11.3334

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