高中数学易错题：函数部分

时间：2021-12-26 14:35:21 数学我要投稿

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高中数学易错题精选：函数部分

　　文章摘要：有效地利用错题本可以有效地提高学习成绩，如(197 KB)

高中数学易错题精选：函数部分

　　中考数学一轮复习：目的、要求及三轮备考的指导思想[1]

　　文章摘要：新学期开始，大多数学校初三年级的各个学科已经进入一轮复习阶段，中考数学学科的复习，一般老师会将其划分为三个阶段，也叫“三轮复习”。各阶段复习目的不同，复习角度和方法要求也不相同。三轮复习决不会机械重复，而是一个螺旋上升的过程。所以提醒广大学生，无论哪个复习阶段，都不可以有放松的思想。…

　　【编者按】新学期开始，大多数学校初三年级的各个学科已经进入紧张的复习阶段，中考数学学科的复习，一般老师会将其划分为三个阶段，也叫“三轮复习”。各阶段复习目的不同，复习角度和方法要求也不相同。三轮复习决不会机械重复，而是一个螺旋上升的过程。所以提醒广大学生，无论哪个复习阶段，都不可以有放松的思想。

　　三轮复习的指导思想

　　第一轮：紧扣大纲，全面复习，形成网络

　　以课程标准为基础，以教材编写章节为依据，细致复习，抓住基础知识、基本技能、基本方法全面复习，要做到“横到边、纵到底”逐步在大脑中形成一个基本的知识网络、知识系统。

　　第二轮：综合训练，强化重点，形成能力

　　在第一轮复习的基础上，通过大量的综合训练题，巩固和运用已形成的知识体系，并对重点、难点进行强化练习，深入研究，进一步拓宽解题思路，引伸解题的方法，提高综合解题能力。

　　第三轮：模拟训练，整体强化，形成素质

　　有计划、有目的地进行模拟训练，使学生清楚考试题型，增加临场经验，使解题时头脑更清醒，解题更周密、规范、简练，并从整体上给学生强化分析、指导总结、探索规律，增强学生的心理素质，使学生对数学知识、数学思想、数学方法能够熟练的应用。

　　一轮复习的目的 “过三关”

　　过记忆关；必须做到记牢记准所有的公式、定理等，没有准确无误的记忆，就不可能有好的结果。要求学生记牢认准所有的公式、定理，特别是平方差公式、完全平方和、差公式，没有准确无误的记忆。老师提前提醒学生用课前5-15分钟的时间来完成这个要求，有些内容老师再重新重点串讲。

　　过基本方法关；如待定系数法求函数解析式，过基本计算关：如方程、不等式、代数式的化简，要求人人能熟练的准确的进行运算，这部分是决不能丢。

　　过基本技能关；如给你一个题，你找到了它的解题方法，也就是知道了用什么办法，这时就说具备了解这个题的技能。做到对每道题要知道它的考点。基本宗旨：知识系统化，练习专题化。

　　一轮复习具体要求与做法

　　认真阅读考纲，搞清课本上每一个概念，公式、法则、性质、公理、定理。重视教材的基础作用和示范作用。抓基本概念的准确性；抓公式、定理的熟练和初步应用；抓基本技能的正用、逆用、变用、连用、巧用；能准确理解教材中的概念；能独立证明书中的定理；能熟练求解书中的例题；能说出书中各单元的作业类型；能掌握书中的基本数学思想、方法，做到基础知识系统化，基本方法类型化，解题步骤规范化。

　　抓住基本题型，学会对基本题目进行演变，如适当改变题目条件，改变题目问法等。

　　在练习的操作上可以分层次布置，基础的练习要全部过关，有难度的题目可选择性的布置，差生只做一些简单的、基础性的、核心的练习，好生可要求全部做。

　　防范错误，把学生所有可能的错误收集起来，制定一个错误的预防表，再将这些错误的问题设计在练习与模拟题中，让学生在解题实践获得教训和反思。

　　研读近两年本市中考试卷及全国各地中考试卷，熟悉中考命题的趋向，也就是要研究：中考必然要考什么?可能会考什么?不考什么?包括哪些基本考点?哪些是重点?应该坚守的基本东西是什么?初中数学教材中出现的数学方法有：换元法、配方法、图象法、解析法、待定系数法、分析法、综合法、分析综合法、反证法、作图法。这些方法要按要求灵活运用。因此复习中针对要求，分层训练，避免不必要的丢分，从而形成明晰的知识网络和稳定的知识框架。研读课标（特别注意课标中可操作性语言，对“了解”“理解”“掌握”“灵活应用”等做出具体界定），以课本为依据，不扩展范围和提高要求。据课本内容将有关的概念、公式、法则、定理及基本运算、基本推理,基本作图，基本技能和方法等形成合理的知识网络结构，通过网络结构，体现知识发生、发展的过程，体现知识的联系，体现知识的应用功能，做到遗漏的知识要补充；模糊的概念要明晰；零散的内容要整合；初浅的理解要深化，要关注基础知识和基本技能的训练，关注“双基”所蕴涵的数学本质及其在具体情况中的合理应用。

　　【人教版】高中数学必修1知识点总结：第一章集合与函数概念[1]

　　文章摘要：集合语言是现代数学的基本语言，它可以简洁、准确地表达数学内容；函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数思想贯穿了高中数学课程的始终，函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切；函数概念及其反映出的数学思想方法已经渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。教材要求：了解…

　　【编者按】集合语言是现代数学的基本语言，它可以简洁、准确地表达数学内容；函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数思想贯穿了高中数学课程的始终，函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切；函数概念及其反映出的数学思想方法已经渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。教材要求：了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；理解函数的概念、表示方法及其基本性质；在解决实际问题的过程中感受函数的思想方法。

　　一、集合

　　课标要求：

　　1．集合的含义与表示

　　（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

　　（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

　　2．集合间的基本关系

　　（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

　　（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；

　　3．集合的基本运算

　　（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

　　（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

　　（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

　　要点精讲：

　　1．集合：一般地，把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set），简称集。

　　（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作；

　　（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

　　确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

　　互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

　　无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

　　（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

　　列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

　　描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

　　具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

　　注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

　　（4）常用数集及其记法：

　　非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.

　　2．集合的包含关系：

　　简单性质：1）；2）；3）若，，则；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中所有真子集的个数是2n－1，所有非空真子集的个数是）；

　　3．交集、并集与补集：

　　注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

　　4．集合的简单性质：

　　附注：学习集合表示方法时应注意的问题

　　（1）注意a与{a}的区别；a是集合{a}的一个元素，而{a}是含有一个元素a的集合，二者的关系是a∈{a}；

　　（2）注意与{0}的区别．是不含任何元素的集合，而{0}是含有元素0的集合．

　　（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或{R}来表示实数集R这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思。

　　用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义。例如：

　　集合中的元素是(x,y),这个集合表示二元方程的解集，或者理解为曲线上的点组成的点集；

　　集合中的元素是x，这个集合表示函数中自变量x的取值范围；

　　集合中的元素是y，这个集合表示函数中函数值y的取值范围；

　　集合中的元素只有一个（方程），它是用列举法表示的单元素集合。

　　二、函数概念与表示

　　课标要求：

　　1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；

　　2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；

　　3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；

　　4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；

　　5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

　　要点精讲：

　　1．函数的概念：

　　设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

　　注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

　　（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.

　　2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

　　（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：

　　①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；

　　②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；

　　③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

　　（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。

　　①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。

　　3．两个函数的相等：

　　函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

　　4．区间

　　5．映射的概念

　　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”.

　　函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。

　　注意：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。

　　（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

　　6．常用的函数表示法

　　（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；

　　（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

　　（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

　　7．分段函数

　　若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；

　　8．复合函数

　　若y=f(u)，u=g(x)，x?(a，b)，u?(m,n)，那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。

　　附注：1．求函数解析式的题型有：

　　（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

　　（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x)：换元法、配凑法；

　　（3）已知函数图像，求函数解析式；

　　（4）f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；

　　（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。

　　2．求函数定义域一般有三类问题：

　　（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；

　　（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；

　　（3）已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域：

　　①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；

　　②若已知f(x)的定义域[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由a≤g(x) ≤b解出。

　　3．求函数值域的各种方法

　　函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。

　　①直接法：利用常见函数的值域来求

　　一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；

　　反比例函数的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}；

　　二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R，

　　当a>0时，值域为{}；

　　当a<0时，值域为{}。

　　②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：f(x)=ax2+bx+c,x∈(a,b)的形式；

　　③分式转化法（或改为“分离常数法”）

　　④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

　　⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

　　⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；

　　⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

　　⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

　　三、函数的基本性质

　　课标要求：

　　1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；

　　2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；

　　要点精讲：

　　1．函数的单调性

　　注意：（1）利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

　　1 任取x1，x2∈D，且x1<x2；

　　2 作差f(x1)－f(x2)；

　　3 变形（通常是因式分解和配方）；

　　4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

　　5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

　　（2）在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．

　　2．最值

　　（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

　　最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

　　注意：1）函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；

　　2）函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）

　　（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：

　　1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；

　　2）利用图象求函数的最大（小）值；

　　3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

　　（3）函数的图象与性质

　　f(x)分别在、上为增函数，分别在、上为减函数。

　　2．奇偶性

　　注意：（1）函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

　　（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

　　1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

　　2）确定f(－x)与f(x)的关系；

　　3）作出相应结论：

　　若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

　　若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

　　（3）简单性质：

　　①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

　　②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域D上：

　　奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

　　4．周期性

　　（1）定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)= f(x)，则称f(x)为周期函数；

　　（2）性质：①f(x+T)= f(x)常常写作若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期；②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为.

　　附注：1．判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：；2．对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称，这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立，函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映；

　　3．若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0，因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；

　　4．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性。

　　5．若存在常数T，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x恒成立，则称T为函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集。（参考教材：人教版必修1A版）

　　【点击下载】高中数学必修1知识点总结01集合与函数的概念.docx(314 KB)

　　【人教版】高中数学必修1知识点总结：第二章基本初等函数[1]

　　文章摘要：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，指数函数、对数函数和幂函数是高中数学学习中三类重要而又常用的基本初等函数，分别刻画了现实世界中三类具有不同变化规律的现象。教材要求：了解三类函数的特征与性质，并利用它们解决身边以及其他学科中的相关问题。 …

　　【编者按】函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，指数函数、对数函数和幂函数是高中数学学习中三类重要而又常用的基本初等函数，分别刻画了现实世界中三类具有不同变化规律的现象。教材要求：了解三类函数的特征与性质，并利用它们解决身边以及其他学科中的相关问题。

　　一、基本初等函数

　　课标要求：

　　1．指数函数

　　（1）了解指数函数模型的实际背景；

　　（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

　　（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；

　　（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

　　2．对数函数

　　（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；

　　（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

　　3．知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a＞0，a≠1）。

　　4．通过实例，了解幂函数的概念；结合常见的几个幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x-1等的含数学图象，了解它们的变化情况。

　　要点精讲：

　　1．指数与对数运算

　　（1）根式的概念：

　　①定义：若一个数的n次方等于，则这个数称a的n次方根。即若xn=a，则x称a的n次方根，

　　1）当n为奇数时，a的n次方根记作；

　　2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作

　　②性质：1）；2）当为奇数时，；

　　3）当为偶数时，

　　（2）分数指数幂的概念

　　①正数的正分数指数幂的意义是：

　　．

　　0的正分数指数幂等于0．

　　②正数的负分数指数幂的意义是：

　　．

　　0的负分数指数幂没有意义。

　　注意口诀：底数取倒数，指数取相反数。

　　（3）幂的有关概念

　　①规定：

　　②性质：

　　注：上述性质对r、s∈R均适用。

　　（4）对数的概念

　　①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数b称以a为底N的对数，记作其中a称对数的底，N称真数。

　　1）以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN；

　　2）以无理数e(e=2.71828……)为底的对数称自然对数logeN，记作lnN；

　　②基本性质：

　　1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）loga1=0；

　　3）logaa=1；4）对数恒等式：

　　③运算性质：

　　④换底公式：

　　2．指数函数与对数函数及其性质

　　（1）指数函数：

　　注：对于相同的，函数的图象关于轴对称。

　　（2）对数函数：

　　注：对于相同的，函数的图象关于x轴对称。

　　（3）幂函数

　　1）幂函数的定义

　　一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x为自变量，α是常数．

　　2）幂函数的性质

　　①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象。幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

　　②过定点：所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1)。

　　③单调性：如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,+∞)上为增函数。如果α<0，则幂函数的图象在(0,+∞)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

　　④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中p，q互质，p、q∈Z），若p为奇数q为奇数时，则是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则是非奇非偶函数．

　　⑤图象特征：幂函数，当α>1时，若0<x<1，其图象在直线y=x下方，若x>1，其图象在直线y=x上方，当α<1时，若0<x<1，其图象在直线y=x上方，若x>1，其图象在直线y=x下方。

　　附注：1．是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算。在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；

　　2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

　　3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

　　4．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；

　　5．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力。

　　二、函数图象

　　课标要求：

　　1．掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；

　　2．掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；

　　3．识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；

　　要点精讲：

　　1．函数图象

　　（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。

　　作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。

　　运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。

　　（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；

　　①平移变换：

　　Ⅰ、水平平移：函数y= f(x+a)的图像可以把函数y= f(x)的图像沿x轴方向向左（a>0）或向右（a<0）平移个单位即可得到；

　　；；

　　Ⅱ、竖直平移：函数y= f(x)+a的图像可以把函数y= f(x)的图像沿x轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移个单位即可得到；

　　；

　　②对称变换：

　　Ⅰ、函数y= f(-x)的图像可以将函数y= f(x)的图像关于y轴对称即可得到；

　　Ⅱ、函数y=- f(x)的图像可以将函数y= f(x)的图像关于x轴对称即可得到；

　　Ⅲ、函数y=- f(-x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于原点对称即可得到；

　　Ⅳ、函数x= f(y)的图像可以将函数y= f(x)的图像关于直线y=x对称得到：

　　Ⅴ、函数y= f(2a-x)的图像可以将函数y= f(x)的图像关于直线x=a对称即可得到；

　　③翻折变换：

　　Ⅰ、函数的图像可以将函数y= f(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留y= f(x)的x轴上方部分即可得到；

　　Ⅱ、函数的图像可以将函数y= f(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y= f(x)在y轴右边部分即可得到:

　　④伸缩变换：

　　Ⅰ、函数y=a f(x)(a>0)的图像可以将函数y= f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长（a>1）或压缩（0<a<1）为原来的a倍得到；

　　Ⅱ、函数y= f(ax)(a>0)的图像可以将函数y= f(x)的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长（a>1）或压缩（0<a<1）为原来的倍得到：

　　（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。

　　注：函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换。（参考教材：人教版必修1A版）

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　　【人教版】高中数学必修1知识点总结：第三章函数的应用[1]

　　文章摘要：面对实际问题时，如何选择恰当的函数模型解决问题呢？函数应用将会告诉同学们不同函数模型间增长的差异，以及选择函数模型解决问题的方法。教材要求：理解函数与方程之间的联系；学会利用函数性质和图象求方程近似解的方法（二分法）；初步运用函数思想解决实际问题。…

　　【编者按】面对实际问题时，如何选择恰当的函数模型解决问题呢？函数应用将会告诉同学们不同函数模型间增长的差异，以及选择函数模型解决问题的方法。教材要求：理解函数与方程之间的联系；学会利用函数性质和图象求方程近似解的方法（二分法）；初步运用函数思想解决实际问题。

　　一、函数与方程

　　课标要求：

　　1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

　　2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

　　要点精讲：

　　1．方程的根与函数的零点

　　（1）函数零点

　　概念：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)（x∈D）的零点。

　　函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。即：

　　方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点。

　　二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的零点：

　　１）△＞０，方程ax2+bx+c =0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；

　　２）△＝０，方程ax2+bx+c =0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

　　３）△＜０，方程ax2+bx+c =0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。

　　零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。既存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程的根。

　　2.二分法

　　二分法及步骤：

　　对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

　　给定精度，用二分法求函数f(x) 的零点近似值的步骤如下：

　　（1）确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0，给定精度；

　　（2）求区间(a,b )的中点x1；

　　（3）计算f(x1)：

　　①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

　　②若f(a) f(x1)<0，则令b=x1（此时零点x0∈(a,x1)）；

　　③若f(x1) f(b)<0，则令a=x1（此时零点x0∈(x1,b)）；

　　（4）判断是否达到精度；

　　即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）。

　　注：函数零点的性质

　　从“数”的角度看：即是使f(x)=0的实数；

　　从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

　　若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；

　　若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点。

　　注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f(a)f(b)<0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

　　3．二次函数的基本性质

　　（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n

　　（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令

　　若，则f(p)=m，f(q)=M；

　　若，则，f(q)=M；

　　若，则f(p)=M，；

　　若，则f(p)=M，f(q)=m

　　（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。

　　①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小

　　【人教版】初中数学八年级知识点总结：17反比例函数

　　文章摘要：反比例函数的是初中数学考试的必考内容之一，并且往往是以大题、综合题、压轴题的形式出现，其难度应该在中高档题的难度。应该说这一部分内容是同学们用多大的功夫学习都不为过，所以同学们应该认真、仔细的学习这章内容。…

　　【编者按】反比例函数的是初中数学考试的必考内容之一，并且往往是以大题、综合题、压轴题的形式出现，其难度应该在中高档题的难度。应该说这一部分内容是同学们用多大的功夫学习都不为过，所以同学们应该认真、仔细的学习这章内容。

　　一、目标与要求

　　1.使学生理解并掌握反比例函数的概念。

　　2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。

　　3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。

　　4.会用描点法画反比例函数的图象。

　　5.结合图象分析并掌握反比例函数的性质。

　　6.体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法。

　　7.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题。

　　8.渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型。

　　二、知识框架

　　【人教版】初中数学九年级知识点总结：28锐角三角函数

　　文章摘要：本章内容主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念以及研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。通过本章的学习应该掌握锐角三角函数以及直角三角函数的相关内容。

　　【编者按】本章内容主要讲述正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念以及研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。通过本章的学习应该掌握锐角三角函数以及直角三角函数的相关内容。

　　一、目标与要求

　　通过本章知识点的归纳总结，同学们应该熟练掌握以下内容：

　　1.通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角。

　　2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角。

　　3.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题。

　　4.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想。

　　5.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。

　　6.能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。

　　二、重点与难点

　　1.重点

　　(1)锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住。

　　(2)能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题。

　　2.难点

　　(1)锐角三角函数的概念。

　　(2)经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，锻炼学生观察、分析，解决问题的能力。

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