高中数学函数模型的应用

时间：2021-12-26 18:53:42 数学我要投稿

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高中数学函数模型的应用

　　1．某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用()

高中数学函数模型的应用

　　A．一次函数 B．二次函数

　　C．指数型函数 D．对数型函数

　　解析：选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意；

　　二次函数在对称轴的两侧有增也有降；

　　而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；

　　因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．

　　2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：

　　x 1 2 3 …

　　y 1 3 8 …

　　则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是()

　　A．y＝2x－1 B．y＝x2－1

　　C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2

　　解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D.

　　3．如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：

　　①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；

　　②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；

　　③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．

　　其中正确信息的序号是()

　　A．①②③ B．①③

　　C．②③ D．①②

　　解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，正确；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确．

　　4．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少x2时面积最大，此时x＝________，面积S＝________.

　　解析：依题意得：S＝(4＋x)(3－x2)＝－12x2＋x＋12

　　＝－12(x－1)2＋1212，当x＝1时，Smax＝1212.

　　答案：1 1212

　　1．今有一组数据，如表所示：

　　x 1 2 3 4 5

　　y 3 5 6.99 9.01 11

　　则下列函数模型中，最接近地表示这组数据满足的规律的一个是()

　　A．指数函数 B．反比例函数

　　C．一次函数 D．二次函数

　　解析：选C.画出散点图，结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线，所以可用一次函数表示．

　　2．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林()

　　A．14400亩 B．172800亩

　　C．17280亩 D．20736亩

　　解析：选C.y＝10000(1＋20%)3＝17280.

　　3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是()

　　A．增加7.84% B．减少7.84%

　　C．减少9.5% D．不增不减

　　解析：选B.设该商品原价为a，

　　四年后价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝0.9216a.

　　所以(1－0.9216)a＝0.0784a＝7.84%a，

　　即比原来减少了7.84%.

　　4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()

　　A．y＝0.3x＋800(02000)

　　B．y＝0.3x＋1600(02000)

　　C．y＝－0.3x＋800(02000)

　　D．y＝－0.3x＋1600(02000)

　　解析：选D.由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，

　　则总收入y＝0.5x＋(2000－x)0.8

　　＝0.5x＋1600－0.8x＝－0.3x＋1600(02000)．

　　5．如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且lAB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的() X k b 1 . c o m

　　解析：选C.设AB＝a，则y＝12a2－12x2＝－12x2＋12a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方．故选C.

　　6．小蜥蜴体长15 cm，体重15 g，问：当小蜥蜴长到体长为20 cm时，它的体重大约是()

　　A．20 g B．25 g

　　C．35 g D．40 g

　　解析：选C.假设小蜥蜴从15 cm长到20 cm，体形是相似的．这时蜥蜴的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比．记体长为20 cm的蜥蜴的体重为W20，因此有W20＝W1520315335.6(g)，合理的答案为35 g．故选C.

　　7．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1；乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．

　　解析：图象法，即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略)，比较发现选甲更好．

　　答案：甲

　　8．一根弹簧，挂重100 N的重物时，伸长20 cm，当挂重150 N的重物时，弹簧伸长________．

　　解析：由10020＝150x，得x＝30.

　　答案：30 cm

　　9．某工厂8年来某产品年产量y与时间t年的函数关系如图，则：

　　①前3年总产量增长速度越来越快；

　　②前3年中总产量增长速度越来越慢；

　　③第3年后，这种产品停止生产；

　　④第3年后，这种产品年产量保持不变．

　　以上说法中正确的是________．

　　解析：观察图中单位时间内产品产量y变化量快慢可知①④.

　　答案：①④

　　??10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k0)，函数图象如图所示．

　　(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k0)的表达式；

　　(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？

　　解：(1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b(k0)中，

　　得400＝600k＋b，300＝700k＋b，解得k＝－1，b＝1000.

　　所以，y＝－x＋1000(500800)．

　　(2)销售总价＝销售单价销售量＝xy，

　　成本总价＝成本单价销售量＝500y，

　　代入求毛利润的公式，得

　　S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)

　　＝－x2＋1500x－500000

　　＝－(x－750)2＋62500(500800)．

　　所以，当销售单价定为750元时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．

　　11．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)(12)th，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．

　　现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多长时间？

　　解：由题意知40－24＝(88－24)(12)20h，

　　即14＝(12)20h.

　　解之，得h＝10.

　　故T－24＝(88－24)(12)t10.

　　当T＝35时，代入上式，得

　　35－24＝(88－24)(12)t10，

　　即(12)t10＝1164.

　　两边取对数，用计算器求得t25.

　　因此，约需要25 min，可降温到35 ℃.

　　12．某地区为响应上级号召，在2011年初，新建了一批有200万平方米的廉价住房，供困难的城市居民居住．由于下半年受物价的影响，根据本地区的实际情况，估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.

　　(1)经过x年后，该地区的廉价住房为y万平方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域．

　　(2)作出函数y＝f(x)的图象，并结合图象求：经过多少年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米？

　　解：(1)经过1年后，廉价住房面积为

　　200＋2005%＝200(1＋5%)；

　　经过2年后为200(1＋5%)2；

　　…

　　经过x年后，廉价住房面积为200(1＋5%)x，

　　y＝200(1＋5%)x(xN*)．

　　(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x0)的图象，如图所示．

　　作直线y＝300，与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时所经过的时间x的值．

　　因为89，则取x0＝9，

　　即经过9年后，该地区的廉价住房能达到300万平方米．

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