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数学思想方法及例题

时间:2021-12-13 09:53:15 数学 我要投稿
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数学思想方法及例题

  导语:数学是科学的大门钥匙,忽视数学必将伤害所有的知识,以下是小编整理数学思想方法复习题的资料,欢迎阅读参考。

数学思想方法及例题

  一、化归思想

  “化归”就是将未知的问题转化成我们已经解决的问题,将复杂的问题转化成简单的问题,也就是将 “未知”的问题“已知化”,“复杂”的问题“简单化”.化归思想是解决问题的常见思想方法.

  【例1】△ABC为等边三角形,三边的长均已在图中标出,求的值.

  分析:因为△ABC为等边三角形,故AB=BC=CA,所以2x-8=x+6=3y+2,稍加组合可得2x-8=x+6,可以求出x的值,然后回代又可求出y的值.

  解:因为△ABC为等边三角形,故AB=BC=CA,所以2x-8=x+6=3y+2,

  又因为2x-8=x+6,解得,x=14,将x=14代入x+6=3y+2,

  解得,y=6,将x=14 y=6代入

  点评:本题利用“化归”的思想,将三角形的三边的长转化成一元一次方程,此处应注意的是方程的组合,不同的组合可能得到的是二元一次方程组,从而加大了计算量和解答难度.

  二、分类讨论思想

  有时将问题看成一个整体时,则无从下手,若分而治之,各个击破,则能柳暗花明,分类讨论正是这一种思想,也是一种重要是数学思想方法,为了解决问题,将问题说涉及的是对象不遗漏地分成若干类问题,然后逐一解决,从而最终解决整个问题的目的.

  【例2】(五城市联赛题)若ab>0,求的值.

  分析:因为ab>0,则a>0,b>0或a<0,b<0,于是将问题分成两种情况进行讨论,不难得到结果.

  解:因为ab>0,则a>0,b>0或a<0,b<0,

  ①

  当a>0,b>0时,,,

  ==1+1-1=1.

  ②

  当a<0,b<0时,,,

  ==-1-1-1=-3.

  故当ab>0, =1或-3.

  点评:在分类讨论时,应注意不遗漏地将问题所涉级的各种情况作出讨论,最后应总结各种讨论的结果.

  三、整体思想

  与分解,分步处理问题相反,整体思想是将问题看成一个完整的整体,从大处着眼,由整体入手,突出对问题的整体结构的分析和改造,把一些彼此孤立实际上紧密联系的量作为整体考虑.在整体思想中,往往能够找到问题的捷径.

  分析:若将问题中的x看成一个未知数,将其求出,然后代入后式中求值,显然计算复杂繁琐,计算量偏大,但将看成一个整体,通过通分得到,继而看作整体,求其倒数得到,对比联想,容易找到解决问题的思路.

  点评:本题若不运用整体的思想方法解题,则计算复杂繁琐,而整体思想的运用,化难为易,整体思想是一种技巧,也是一种重要的思想方法.

  四、数形结合思想

  数形结合思想,是一种重要的思想,有时力图用图形来直观体现数量的关系,将抽象复杂的数(量),利用图形的直观表达,然后利用图形的性质(特征),分析解决问题,有时力图用数(量)来体现图形的关系,将图形的性质(特征),利用数(量)的关系来加以解决的思想方法,也是一种重要的思想方法.

  【例4】(北京市“迎春杯”数学竞赛题)已知:a>0,b<0,且a+b<0,那么有理数a,b,-a,的大小关系是(用“<”连接).

  解析:因为b<0,=-b,因为a>0,b<0且a+b<0,根据有理数加法法则,可得,<,以形辅数,在数轴上表示它们的位置关系,又根据相反数的定义,可以得到a,b,-a,-b的位置关系.

  故b<-a<a<-b,即b<-a<a<.

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